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線形代数２

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令和２年度以降入学者 線形代数２
教員名 古市茂
単位数    2 学年 2～4 開講区分 文理学部
科目群 情報科学科
学期 後期 履修区分 選択必修
授業形態 対面授業（一部遠隔授業）
Canvas LMSコースID・コース名称 Q033241721　2024線形代数２（古市茂・後・月3）
授業概要 線形代数における重要な概念である「内積」，「固有値と固有ベクトル」について学ぶ。内積については高校数学でも既に学んでいると思うが，n次元の場合について定義する．内積を学んだ後にグラムシュミットの直交化法について学び具体的な例で直交化が計算できるようにする．これは，後に学ぶ実対称行列の直交行列による対角化の際に再び必要となる．また固有値・固有ベクトルの計算法についても学び，行列が対角化できる条件に付いて学ぶ．任意の正方行列が三角化可能であることを利用して対角化の必要十分条件の定理を証明する．具体的な行列が対角化可能か否かを固有空間の次元と固有値の重複度からチェックできることを学ぶ．また対角化可能な場合は，対角化するための正則行列を求める手法について学ぶ．最後に，実対称行列が直交行列を用いて対角化されることを証明し具体的な例で計算できるようにする．
授業のねらい・到達目標 線形代数1において学んだベクトル空間に内積を導入し計量できるようにする。
グラムシュミットの直交化法を用いて正規直交基底を計算できるようにする。
同様に線形写像の応用として固有値と固有空間についての基礎概念，行列の対角化までの計算手法を理解する。
最終的には実対称行列が直交行列で対角化可能であることを証明する。
さらに、本テーマに関して基礎的な問題および標準的な問題までを独力で解けるようにする。
行列やベクトルの演算を通して，具体的に代数学の基本を学び取れるようにする。

この科目は文理学部(理学)のディプロマポリシー DP3-5及びカリキュラムポリシー CP3-5に対応している。
・既存の知識にとらわれることなく，物事を論理的・批判的に説明することができる。(A-3-2)
・日常生活における現象に潜む科学的問題を発見し，専門的知識に基づいて説明することができる。(A-4-2)
・新しい問題に取り組む意識を持ち，そのために必要な情報科学の知識・情報を収集することができる。(A-5-2)
授業の形式 講義
授業の方法 定理や補題、命題などの証明をもれなく解説する．
ほとんどの例や問いについても計算を含め詳細に解説する．

授業内試験の講評をCanvas LMSにおいて行う．
個別の質問があった場合に，全ての学生にとって聞く価値のある内容と判断した場合はCanvas LMSまたは授業内で紹介する．

対面授業に参加できない時の代替方法：各回ビデオオンデマンドで対応する．
授業計画
1 ベクトルの内積について学習する。ノルムの性質について学ぶ。シュワルツの不等式、三角不等式について学ぶ。それを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の5.1節を読んでおくこと （2時間）
【事後学習】教科書の5.1節の内容を理解しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
2 グラム・シュミットの直交化法について学習する。直交補空間について学ぶ。それを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の5.2節および5.3節を読んでおくこと （2時間）
【事後学習】教科書の5.2節および5.3節の内容を理解しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
3 正射影について学習する。具体例で理解を深める。それを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の5.3節を読んでおくこと （2時間）
【事後学習】教科書の5.3節の内容を理解しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
4 直交行列と内積について学習する。複素内積について学ぶ。それらを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の5.4節および5.5節を読んでおくこと （2時間）
【事後学習】教科書の5.4節および5.5節の内容を理解しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
5 固有値と固有ベクトルの定義および具体的な計算方法について学習する。それらを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の6.1節を読んでおくこと （2時間）
【事後学習】教科書の6.1節の内容を理解しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
6 固有ベクトル・固有空間の計算について学習する。それらを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の6.1節を読んでおくこと （2時間）
【事後学習】教科書の6.1節の内容を理解しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
7 固有値と固有ベクトルの性質について学習する。それらを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の6.2節を読んでおくこと （2時間）
【事後学習】教科書の6.2節の内容を理解しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
8 行列の三角化について学習する。具体例を通して理解を深める。それを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の6.3節を読んでおくこと （2時間）
【事後学習】教科書の6.3節の内容を理解しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
9 行列の対角化の十分条件および必要十分条件について学習する。それを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の6.3節を読んでおくこと （2時間）
【事後学習】教科書の6.3節の内容を理解しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
10 固有値空間の次元に関する性質について学ぶ。ケーリー・ハミルトンの定理について学習する。それらを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の6.4節を読んでおくこと （2時間）
【事後学習】教科書の6.4節の内容を理解しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
11 フロベニウスの定理について学ぶ。実対称行列の性質と対角化に関する定理について学習する。それらを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の6.4節および6.5節を読んでおくこと （2時間）
【事後学習】教科書の6.4節および6.5節の内容を理解しておくこと （2時間）
【授業形態】オンデマンド型授業
12 実対称行列の具体的な対角化の計算について学習する。それを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の6.5節を読んでおくこと （2時間）
【事後学習】教科書の6.5節の内容を理解しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
13 これまでの内容に関する筆記試験と振り返りを行う。演習問題5.1から5.7を解説する．授業内試験で出来なかった問題の類題があれば特に時間を掛けて理解すること。それらを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】5章および6章の内容を復習しておくこと。教科書の演習問題5.1から5.7を解いてみること （2時間）
【事後学習】試験問題を持ち帰り教科書およびこれまでの授業ノートをもとにもう一度解答を作成しておくこと。教科書の演習問題5.1から5.7の解法を理解し身に着けること （2時間）
【授業形態】対面授業
14 演習問題6.3から6.6を解説する．授業内試験で出来なかった問題の類題があれば特に時間を掛けて理解すること。それらを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の演習問題6.3から6.6を解いてみること。 （2時間）
【事後学習】教科書の演習問題6.3から6.6の解法を理解し身に着けること。 （2時間）
【授業形態】オンデマンド型授業
15 演習問題6.9から6.16を解説する．授業内試験で出来なかった問題の類題があれば特に時間を掛けて理解すること。それらを理解できるようになる。(A-3,4,5)
【事前学習】教科書の演習問題6.9から6.16を解いてみること （2時間）
【事後学習】教科書の演習問題6.9から6.16の解法を理解し身に着けること （2時間）
【授業形態】オンデマンド型授業
その他
教科書 『教養の線形代数 （村上正康・佐藤恒雄・野澤宋平・稲葉尚志）』 培風館 2016年 第6版
一部，時間内で扱えなかった話題（特に6.6節の２次形式）などは，付録の動画として紹介しています．興味がおありの方はご視聴ください．
参考書 村上正康・野澤宗平・稲葉尚志 『演習線形代数』 培風館 1989年 第1版
授業内容の理解を深めるために問題を解くのは有効である。授業時間は限られており演習に避ける時間も少ないので、各自で学習するには最適の演習書として本書を推薦する。
成績評価の方法及び基準 授業内テスト:筆記試験の結果により評価する（対面試験）(100%)
学部指定の条件を満たしたうえで対面試験を受験できなかった者については，追試験により成績を評価する．
オフィスアワー 質問については電子メールなどを通してお願いします．
備考 ・授業中の私語は厳禁です．繰り返しの注意にも関わらず私語を止めない場合は，他の受講生に対する迷惑行為とみなし，退室を命じることがあります．

・本講義科目において，授業中にノートパソコンを使用することは一切ありません。授業中に，ノートパソコンやタブレット，スマートフォンを操作することは原則認めません。（急用の連絡がスマートフォンに来た時などは，遠慮なく退室して用を済ませてください。）講師の板書をノートパソコンを用いてlatexで取る，あるいは電子ペンでタブレットなどに取るという場合は認めます。それ以外の理由で，このような機器を授業中に机の上に置くことを禁じます。使用の有無にかかわらず（例えば他の授業科目の課題などを行っている場合）大幅に減点します。

・前回の授業内容を復習して，理解が不十分な箇所が無いようにしておくこと．また，教科書の次回の授業範囲分を確認して，必要な予備知識に不足があれば補っておくこと．

・点数が悪いからどうにかして下さいと後から申し出る学生が時々いますが、再試験は行いません。そのような申し出をするなら、試験前にわからないところを質問しに来てください。このような申し出は、非常に見苦しいし，聞くに堪えません。

・個別に電子メールなどで出題傾向などを尋ねることは止めてください。試験内容について、公平性の観点から特定の個人への情報を開示しません。そのような行為は試験制度を歪める元凶となりますので，そのような電子メールへの回答は一切致しません。授業に出席し，真面目に聴講していれば，重要な個所はある程度分かるはずです。

・新型コロナウィルス・インフルエンザ罹患などの病気・怪我や忌引き，電車遅延の理由のある場合は、試験日よりも前に連絡したうえで，それを示す書類を提示してください。こちらで判断の上、追試験を行う場合があります。原則的にこれら以外の理由での追試験は認めません。（例えば，試験翌日とかに，コロナ陽性でしたと主張されても追試は認められません。）

・もしも追試験を行うことになった場合，当然，本試験とは異なる問題です．また，追試験の日まで試験勉強期間が延びることから，本試験より難易度は高くなります．なお，追試験の追試験は行いませんので体調管理を怠らないよう気を付けてください．

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