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基礎数理特別講究Ⅰ

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令和２年度以降入学者 基礎数理特別講究Ⅰ
教員名 山浦義彦
単位数    1 課程     開講区分 文理学部
科目群 地球情報数理科学専攻
学期 前期 履修区分 選択必修
授業の形態 対面授業 (遠隔希望の場合は Zoom 参加可能)
Blackboard のコース ID : 20221973
2022基礎数理特別講究Ⅰ（山浦義彦・前・水２）
授業概要 ルベーグ積分論を学ぶ. 偏微分方程式論におけるもっとも重要な関数区間である可積分関数空間の
性質と定理を学ぶ.
授業のねらい・到達目標 面積や体積の一般化概念である測度の定義方法を学び, 諸性質を理解することができる。
ルベーグ積分については, 極限と積分の順序交換を保証するルベーグ優関数定理を証明まで込めて理解することができる。
さらに, 可積分関数空間の完備性の証明を理解することができる。
授業の方法 授業の形式【講究】
少人数のゼミ形式の講義である. 毎回の講義内容について学生に自分の
勉強成果をホワイトボードを用いて, 口頭発表してもらう.
その際に, 理解が不十分な点を指摘したり, 問題を出題したりする.
また修士論文作成に向けたアドバイスを随時行う.
授業計画
1 予備知識の確認【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】集合と位相に関する基本事項を復習しておくこと. （3時間）
【事後学習】集合列の上極限, 下極限の考え方を理解すること. （3時間）
2 有限加法的測度【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】微分積分学の上限・下限の定義と性質を復習しておくこと. （3時間）
【事後学習】有限加法的測度が面積の考え方を抽象化したものであることを理解すること. （3時間）
3 外測度【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】面積を長方形を使って近似するとはどういうことか自分の考えをまとめてくること. （3時間）
【事後学習】自分の考えと外測度の考え方の相違を理解すること. （3時間）
4 測度【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】外測度を面積の一般化と考えてよいかどうかを考えてくること. （3時間）
【事後学習】有限加法的測度を可算加法的測度の拡張するプロセスで外測度が導入されたことを理解する. 第5回 （3時間）
5 ユークリッド空間上のルベーグ測度【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】ユークリッド空間における開集合, 閉集合の定義を復習しておくこと. （3時間）
【事後学習】ボレル集合という概念を理解すること. （3時間）
6 ユークリッド空間上のルベーグ測度の性質【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】 ユークリッド空間上のルベーグ測度の定義を復習しておくこと. （3時間）
【事後学習】ボレル集合の可測性を理解すること. （3時間）
7 測度空間の完備化, 非可測集合の存在【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】測度 0 の集合とはどういう集合であるか考えてくること. （3時間）
【事後学習】可測でない集合が存在することを理解しなさい. （3時間）
8 直積測度【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】1次元の長さの考え方を2次元の面積に拡張するにはどうしたらよいか考えてくること. （3時間）
【事後学習】直積測度がどのようにして導入されるかを理解すること. （3時間）
9 可測関数【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】リーマン積分不可能な関数とはどういう関数だったか復習しておくこと. （3時間）
【事後学習】ルベーグ積分の意味で関数が可測であるとはどういう意味か理解すること. （3時間）
10 ルベーグ積分【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】リーマン積分の定義を復習しておくこと. （3時間）
【事後学習】リーマン積分とルベーグ積分の定義の方法の相違点を理解すること. （3時間）
11 ルベーグ積分の性質【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】積分として持っているべき性質とはなにか, 考えてくること. （3時間）
【事後学習】ルベーグ積分特有の性質を理解すること. （3時間）
12 項別積分に関する諸定理 1 【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】リーマン積分での項別積分はどのような条件下で成立したか復習しておくこと. （3時間）
【事後学習】単調増加関数列に対する項別積分定理を理解すること. （3時間）
13 項別積分に関する諸定理 2 【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】単調性があればどうして項別積分できるかを復習しておくこと. （3時間）
【事後学習】ファトゥーの補題の証明を理解すること. （3時間）
14 項別積分に関する諸定理 3 【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】ファトゥーの補題が何故成り立つのか復習しておくこと. （3時間）
【事後学習】ルベーグの収束定理の証明を理解すること. （3時間）
15 フビニの定理【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】リーマン積分の重積分は累次積分と一致する理由を復習しておくこと. （3時間）
【事後学習】ルベーグ積分ではどういう条件下で積分順序交換ができるのかまとめておくこと. （3時間）
その他
教科書 伊藤清三 『ルベーグ積分入門』 裳華房
参考書 なし
成績評価の方法及び基準 授業参画度(100%)
授業参画度とは, 口頭発表の内容, およびその準備状況を総合評価することを意味します.
また, 毎回のアドバイスを素直に受け入れ次回の発表で活かし自分の力を伸ばす努力を
勘案して評価します.
オフィスアワー 木曜日3限
メールや Blackboard でも質問を受け付けます.
備考 「事前学習・事後学習」に関する学習時間は目安です.

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