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代数学特論Ⅰ
| 令和２年度以降入学者 | 代数学特論Ⅰ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 教員名 | 吉田健一 | ||||
| 単位数 | 2 | 課程 | 開講区分 | 文理学部 | |
| 科目群 | 地球情報数理科学専攻 | ||||
| 学期 | 前期 | 履修区分 | 選択必修 | ||
| 授業の形態 | 対面授業 Blackboard のコース ID:20221955 2022代数学特論Ⅰ（吉田健一・前・金５） |
|---|---|
| 授業概要 | 前半は，多項式環の単項式イデアル(monomial ideal)の演算・準素分解・Alexander 双対の計算方法を学修し，単体的複体を通して位相幾何の代数的アプローチを学修する。後半は, Hochster の定理などを通して，可換環論的に重要な性質として Cohen-Macaulay 性を判定する方法を学修する。 |
| 授業のねらい・到達目標 | ＜授業のねらい＞ ・単項式イデアルの準素分解・演算の仕方を身に着ける。 ＜到達目標＞ ・単項式イデアルの各種演算が実行できる。 ・単項式イデアルの幾何学的意味付けが説明できる。 ・Clean 性について説明できる。 |
| 授業の方法 | 授業の形式：【講義】 原則として教員による講義形式で行うが，理解度を深めるために演習も行う。 対面での参加が原則であるが，許可を得て Zoom での閲覧も認める。 |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
単項式イデアルの定義を学修し，講義の概観を理解する。
【事前学習】多項式環，イデアルについて復習しておく。 （２時間） 【事後学習】単項式イデアルの生成系を求める宿題を解く。 （２時間） |
| 2 |
単項式イデアル独自の演算を修得する。
【事前学習】一般のイデアルの演算について復習しておく。 （２時間） 【事後学習】単項式イデアルの演算の具体例の宿題を解く。 （２時間） |
| 3 |
単項式イデアルの準素分解を身に着ける。
【事前学習】準素イデアルについて復習しておく。 （２時間） 【事後学習】単項式イデアルの準素分解の例題を解く。 （２時間） |
| 4 |
単体的複体と Stanley-Reisner イデアル（無平方な単項式イデアル）の関係を理解する。
【事前学習】集合の演算について復習しておく。 （２時間） 【事後学習】与えられた単体的複体の Stanley-Reisner イデアルの計算例題を解く。 （２時間） |
| 5 |
イデアル版の Alexander 双対の求め方・性質を学修する。
【事前学習】単項式イデアルの準素分解を復習しておく。 （２時間） 【事後学習】イデアルの Alexander 双対の計算例題を解く。 （２時間） |
| 6 |
単項式イデアルの polarization の求め方・性質を学修する。
【事前学習】無平方な単項式イデアルの性質を復習しておく。 （２時間） 【事後学習】与えられた単項式イデアルの polarization の計算例題を解く。 （２時間） |
| 7 |
完全交叉・概完全交叉単項式イデアルの分類を学修する。
【事前学習】単項式イデアルの演算について復習しておく。 （２時間） 【事後学習】概完全交叉イデアルの性質に関する例題を解く。 （２時間） |
| 8 |
Stankey-Reisner 環の Cohen-Macaulay 性の判定法 (Hochster の定理など）を学修する。
【事前学習】単体的複体のホモロジー群について予習しておく。 （２時間） 【事後学習】与えられた単体的複体のホモロジー群の計算例題を解く。 （２時間） |
| 9 |
Eagon-Reiner の定理の証明・使い方を学修する
【事前学習】イデアルの Alexander 双対の計算方法を復習しておく。 （２時間） 【事後学習】Eagon-Reiner の定理を通して, 具体的な Cohen-Macaulay 複体の計算例題を解く。 （２時間） |
| 10 |
シェラビリティと Cohen-Macaulay 性の関係の他, clean 性について学修する。
【事前学習】概完全交叉複体の性質を確認しておく。 （２時間） 【事後学習】Cohen-Macaulay 複体の例を作ってみる。 （２時間） |
| 11 |
「very clean」という概念を導入し，前半で導入された操作との関係を学修する。
【事前学習】第５・６回の内容を中心に学修内容を復習しておく。 （２時間） 【事後学習】概完全交叉イデアルの clean 性を確認する。 （２時間） |
| 12 |
生成系の個数と高さが丁度２だけ異なる Cohen-Macaulay イデアルの分類方法の概略を学修する。
【事前学習】第10回，第11回の clean 性に関する内容を復習しておく。 （２時間） 【事後学習】講義で学修したイデアルの類似の例について，clean 性の証明を行う。 （２時間） |
| 13 |
榎本・吉田の定理の別証明を学修する。
【事前学習】第11回，第12回の内容を復習しておく。 （２時間） 【事後学習】イデアルの clean 性の具体的な例題を解く。 （２時間） |
| 14 |
履修者の学修している内容を発表し，質疑応答する。
【事前学習】発表者は事前に発表の準備を行う。 （２時間） 【事後学習】発表内容をノートにまとめる。 （２時間） |
| 15 |
履修者の学修している内容を発表し，質疑応答する。さらに，講義全体のふりかえりを行う。
【事前学習】発表者は事前に発表の準備を行い，講義全体の内容を見直しておく。 （２時間） 【事後学習】講義全体のふりかえりを通して確認した内容をノートに整理しておく。 （２時間） |
| その他 | |
|---|---|
| 教科書 | 使用しない |
| 参考書 | J. Herzog and T. Hibi, Monomial Ideals:Graduate Texts in Mathematics 260, Springer, 2011 日比孝之 『可換代数と組合わせ論 （現代数学シリーズ）』 丸善出版 2019年 |
| 成績評価の方法及び基準 | 授業参画度:毎回の課題か点検シートの内容で評価する。(90%)、履修者の学修内容の発表を評価する。(10%) |
| オフィスアワー | メールで連絡をもらえば常時可能 |