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代数学

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令和２年度以降入学者 代数学
令和元年度以前入学者 代数学
教員名 齋藤明
単位数    2 学年    2 開講区分 文理学部
科目群 情報科学科
学期 前期 履修区分 選択必修
授業の形態 対面授業
BlackBoard コースID：20221429
授業概要 整数の足し算、ベクトルの足し算、行列の足し算は全て異なる演算だが、我々は普段その違いを意識せず同じ+の記号を違和感なく用いている。また有限の値しか扱えない計算機が行う四則演算は、厳密には数学の四則演算と異なるはずである。ところが我々は普段それを意識しない。計算機による計算をより深く理解するためには、「なぜ我々は意識しせず四則計算できるのか」を知っておく必要がある。このような動機の下で各種の代数系とその性質を解説する。
授業のねらい・到達目標 ・半群、モノイド、群の諸概念と演算の関係を把握することができる。
・環、体の概念を通して２種類の演算の関係を把握することができる。
・上記の概念を通して、計算機内での四則演算の仕組みを把握し、それをプログラミングに応用することができる。

この科目は文理学部(学士(理学))のディプロマポリシーDP3, DP4, DP5 及びカリキュラムポリシー CP3, CP4, CP5 に対応している。

なお，新カリキュラム（令和2年度以降入学者対象）では，この科目は文理学部（学士(理学)）のディプロマポリシー DP3-5及びカリキュラムポリシー CP3-5に対応している。
・既存の知識にとらわれることなく，物事を論理的・批判的に説明することができる。(A-3-2)
・日常生活における現象に潜む科学的問題を発見し，専門的知識に基づいて説明することができる。(A-4-2)
・新しい問題に取り組む意識を持ち，そのために必要な情報科学の知識・情報を収集することができる。(A-5-2)
授業の方法 (1) 授業の形式︓【 講義 】
板書とスライドにより基本事項を説明する。また適宜授業内課題を与える。与えた課題について
は、講義時間内に解説を⾏う。

(2) 対⾯授業に参加できない学⽣への代替⽅法、要件
対⾯授業に参加できない場合、以下の要件を満たす学⽣は、別途実施するオンライン授業
（Zoom）への参加を認める。
オンライン授業への参加を認める要件︓学部の方針に従う
オンライン授業の⽅法︓予め授業資料を渡し、対⾯授業とは別の時間枠で反転授業を⾏う。授業
時間は受講者との協議の上で決めていく。
履修条件 ２年前期科目「離散数学」を履修していることが望ましい。
授業計画
1 「離散数学」で学んだ集合と２項関係、写像の概念について、確認と補足を行う。
【事前学習】計算機言語における整数型の形式について調べ、ノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】配布する演習プリントの3番（集合の直積と２項関係）を解く。 （3時間）
2 ２項演算と半群の概念を学ぶ。
【事前学習】第１回授業で配布する講義プリントの第１章と第２章の定義2.4までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの6番（半群の判定）を解く。 （3時間）
3 半群の性質を調べる。またモノイドの概念を学ぶ。
【事前学習】講義プリントの定義2.7 までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの7番（モノイドの判定）を解く。 （3時間）
4 群の定義を学び、また群の例をいくつか見る。
【事前学習】講義プリントの定義2.11 までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの8番（群の判定）を解く。 （3時間）
5 部分群と剰余類、正規部分群の概念を学ぶ。
【事前学習】講義プリントの定義2.20 までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの12番（部分群に関する問題）を解く。 （3時間）
6 群の同型、準同型の概念を学ぶ。また群の準同型定理を学ぶ。
【事前学習】講義プリントの定義2.22 までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの15番（準同形定理）を解く。 （3時間）
7 置換群の概念と置換の計算方法を学ぶ。
【事前学習】講義プリントの定義2.26 までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの17番（置換の計算問題）を解く。 （3時間）
8 これまでの内容を確認する総合演習をテスト形式で行う。その後出題された問題について解説する。
【事前学習】講義プリントの定義2.32 までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの19番（巡回置換表現の下での計算問題）を解く。 （3時間）
9 環の概念を学び、例として実数上の多項式環の性質を調べる。
【事前学習】講義プリントの定義3.3 までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの20番（環の性質）を解く。 （3時間）
10 体の概念を学ぶ。体上の多項式の既約性を学ぶ。
【事前学習】講義プリントの定義3.12 までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの22番（体の性質）を解く。 （3時間）
11 拡大体の概念を学ぶ。また原始既約多項式、原始元の概念を学ぶ。
【事前学習】講義プリントの定義3.15 までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの（多項式の既約性判定）番を解く。 （3時間）
12 Z/pZ上の原始既約多項式を用いて有限体を構成する方法を学ぶ。また有限体の位数は素数べきになることを確認する。
【事前学習】講義プリントの定義3.18 までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの25番（体の標数）を解く。 （3時間）
13 前回の講義内容をベースとして、実際にGF(16)を構成し、その上で四則演算を行う。
【事前学習】講義プリントの定義3.19 までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの26番（有限体の構成と計算）を解く。 （3時間）
14 有限体の応用例として、フロベニウス変換限体を用いたGF(2)上の多項式の因数分解を見る。
【事前学習】講義プリントの定義3.22 までを読み、理解できないところをノートにまとめておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの28番（多項式の因数分解）を解く。 （3時間）
15 これまでの講義内容の補足を行う。
【事前学習】配布する2020年度の試験過去問を解く。 （2時間）
【事後学習】配布する2019年度の試験過去問を解く。 （2時間）
その他
教科書 なし
参考書 平林隆一 『代数系とその応用 （工学基礎）』 数理工学社 2006年 第1版
成績評価の方法及び基準 試験(50%)、授業内テスト:第8回総合演習(20%)、授業外演習(30%)
試験は15回の講義が全て終了した後に、独自に日時を設けて対面で試験を行う。その結果と第８回総合演習、授業外演習の提出状況・内容を元に評価する。
対面の試験を受験できない学生については、別途オンライン試験を実施する。オンライン試験の内容は対面で行う試験の内容と異なる。
オフィスアワー 毎週⽕曜⽇ 12:20〜13:00 に研究室で⾏う。またメール（[email protected]）での質疑応答も受け付ける。
備考 授業計画に書かれた講義プリント、演習プリントの箇所は2021年度版のものに基づいている。ただしプリントは毎年更新されている。更新により定義、定理の番号、問題番号が変化することがある。その場合には授業時および BlackBoard で適宜変更箇所を伝える。

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