基礎数理特別講究Ⅲ

科目名	基礎数理特別講究Ⅲ
教員名	山浦義彦
単位数	1	課程	前期課程	開講区分	文理学部
科目群	地球情報数理科学専攻
学期	前期	履修区分	選択必修

授業概要	ソボレフ関数の定義と一般的性質の理解を目指し, セミナー形式で授業を進める. 口頭発表に対して理解を助けるためのアドバイスを与える.
授業のねらい・到達目標	【授業のねらい】偏微分方程式を扱うための基本的な関数空間であるソボレフ関数空間の諸性質を理解し, 論文を読む能力を養うことをねらいとする. 【到達目標】ソボレフの不等式およびソボレフコンパクト埋蔵定理の主張と証明を理解することを目標とする.
授業の方法	少人数のゼミ形式の講義である. 毎回の講義内容について学生に自分の勉強成果をホワイトボードを用いて, 口頭発表してもらう. その際に, 理解が不十分な点を指摘したり, 問題を出題したりする. また修士論文作成に向けたアドバイスを随時行う. 本授業の事前・事後学習は各々２時間を目安とする。

授業計画
1	ヘルダー空間【事前学習】1変数関数のヘルダー連続性を復習しておくこと【事後学習】ヘルダー空間におけるノルムの定義を理解すること
2	弱微分【事前学習】Gauss-Green の公式を復習しておくこと. 【事後学習】弱微分の概念を理解し, 弱微分の一意性の証明を理解すること.
3	ソボレフ空間【事前学習】弱微分を復習しておくこと. 【事後学習】ソボレフ空間の定義とそのノルムを理解すること.
4	ソボレフ関数の性質【事前学習】ソボレフ空間の定義を復習しておくこと. 【事後学習】ソボレフ関数の諸性質を証明まで込めて理解すること.
5	ソボレフ空間の完備性【事前学習】ソボレフ関数の性質を復習すること. 【事後学習】ソボレフ関数のバナッハ空間としての性質を理解すること.
6	局所近似理論【事前学習】1変数関数の微分可能性について復習しておくこと. 【事後学習】モリファイアーの定義と性質を理解すること.
7	大局的近似理論【事前学習】局所近似の方法を復習しておくこと【事後学習】局所近似と大局的近似の条件の相違を理解すること.
8	拡張定理【事前学習】近似理論を総括しておくこと. 【事後学習】拡張可能な場合と不可能な場合があることを理解すること.
9	1の分解【事前学習】コンパクト性について復習しておくこと. 【事後学習】1の分解を理解する.
10	境界トレース【事前学習】1変数微分積分学の基本定理の証明を理解しておくこと. 【事後学習】トレースの定義方法を理解すること.
11	ソボレフ埋蔵定理 1 【事前学習】ルベーグ積分論のフビニの定理を復習しておくこと. 【事後学習】滑らかな関数の場合にソボレフ埋蔵定理の証明を理解する
12	ソボレフ埋蔵定理 2 【事前学習】滑らかな場合のソボレフ埋蔵定理の証明を復習しておくこと. 【事後学習】関数に滑らかさを仮定しないソボレフ埋蔵定理の証明を理解する.
13	モレー空間【事前学習】ヘルダー空間の復習をしておくこと. 【事後学習】モレー空間とヘルダー空間の関係を理解すること.
14	コンパクトな埋め込み 1 【事前学習】1次元ボルツァーノワイエルシュトラスの定理の証明を思い出しておくこと. 【事後学習】レリッヒの定理の主張を理解すること.
15	コンパクトな埋め込み 2 【事前学習】アスコリ-アルツェラの定理の証明を復習しておくこと. 【事後学習】レリッヒの定理の証明を理解すること.

その他
教科書	Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations:Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society
参考書	使用しない
成績評価の方法及び基準	授業参画度(100%) 授業参画度とは, 口頭発表の内容, およびその準備状況を総合評価することを意味します. また, 毎回のアドバイスを素直に受け入れ次回の発表で活かし自分の力を伸ばす努力を勘案して評価します.
オフィスアワー	金曜日午後山浦研究室